НАЧАЛО
СОДЕРЖАНИЕ

СИСТЕМА РАБОТЫ
С МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ

Белова Галина Валентиновна
гимназия № 30
г. Петрозаводск

Курс математики традиционно строится как последовательное изучение различных математических объектов и операций над ними. При этом значительная часть математических объектов не имеет в учебном курсе собственной ценности, а рассматривается как инструменты для операций над другими объектами (уравнения и неравенства - инструменты для решения задач, аналогичную роль в геометрии играет окружность). Именно необходимостью использования того или иного инструмента определяется последовательность введения объектов в изучение. Это влияет и на порядок, и на глубину изучения объектов (многие из них изучаются только на уровне понятия и элементарных свойств, рассмотрение других - сильно растянуто во времени и не позволяет увидеть объект как систему).

Предлагаемая ниже система работы с математическим объектом позволяет решить проблему формирования системных представлений в курсе математики.

Любой математический объект целесообразно изучать в такой последовательности:

1). Определение объекта.

2). Элементы (основные и дополнительные).

3). Свойства объекта.

4). Признаки объекта (необходимые и достаточные условия его существования).

5). Применение (фактически здесь объект рассматривается как инструмент для работы с другими объектами).

Раскроем систему на примере объекта “уравнение”.

1. Определение

1.1. Поисковая работа по выделению математического объекта.

Собираем первичный фонд (математическую копилку) для нашего определения [2]. Для этого пользуемся игрой “математический конструктор” (составляем математические выражения, из элементов “конструктора”: чисел, знаков арифметических операций (+ - * : ), знаков операций сравнения, букв, обозначающих неизвестные числа).

Например: 5х+7; 34+12 = 50 - 4; 5х > 9; 3х + 2у = - 34; Х*(2X - 7)=3X…

Полученный фонд классифицируем, выделяем для дальнейшей работы группу “уравнения”.

1.2. Построение определения [3].

Общая схема определения:

<Название> - это (1)

<группа> (2)

<существенные признаки> (3)

Задание: по схеме определим объект - уравнение.

Уравнение - это

равенство,

содержащее букву.

или

Уравнение - это

математическое выражение,

являющееся равенством, содержащее букву.

1.3. Работа с готовым определением.

> Выявляем многообразие объектов, подпадающих под определение (копилка уравнений по определению) [2].

Задание: записать 10 уравнений, не похожих друг на друга.

Х=5; 5а + b=27; (x-4)/5 = 6/(x-3); 5*7=2b-6; x2+5=x/6; 1/(x-2)= x2 ; (x-7)3+5=1/y и т.д.

> Составляем контрпримеры и задачи-ловушки [2], акцентируя внимание на необходимости пунктов 2) и 3) в определении.

Задание: “придумайте и запишите такое математическое выражение, которое похоже на уравнение, но не уравнение”. (Анализируя записанные выражения, дети самостоятельно получают алгоритм построения контрпримера - путем нарушения пунктов 2) и/или 3) в определении).

26+X=; (80-51)*2=58

2. Выделение элементов объекта (подсистем различного уровня).

> Основные элементы (получаются непосредственно из определения). Для уравнения это левая и правая части равенства.

> Дополнительные элементы (получаются опосредовано, путем допустимых преобразований). В нашем случае - корень уравнения.

3. Свойства объекта.

Для изучения свойств объекта можно использовать известные свойства надсистемной группы, к которой относится данный объект. Чтобы изучить свойства, объект надо подвергнуть преобразованиям, не разрушающим его (не меняющим определение объекта).

Задание: преобразуйте уравнение любыми способами. Условие: нельзя уничтожать левую и / или правую часть и нарушать равенство. Постарайтесь найти все возможные способы.

Свойство 1. Если в уравнении правую и левую части поменять местами, то получится равносильное уравнение.

Свойство 2. Если к правой и левой частям уравнения прибавить равные выражения, то получим равносильное уравнение. И т. д.

4. Признаки объектов (достаточные условия их существования).

В качестве признака можно использовать определение (если равенство содержит букву, то оно - уравнение). Часто признаком может служить утверждение, обратное свойству.

Задание: проверить, являются ли утверждения, обратные свойствам, признаками уравнений.

Если в математическом выражении, содержащем букву, можно менять местами левую и правую часть, то это уравнение.

Задание: составить неправильные признаки (ловушки).

Если при прибавлении к обеим частям математического выражения с переменной получается равносильное выражение, то это уравнение неверно.

Например, Х>5 Ы x+7>5+7 - неравенство, а не уравнение.

5. Применение.

В любом применении объект становится инструментом для исследования, создания, преобразования других объектов. Уравнение - инструмент для решения некоторого класса текстовых задач, математическая модель конкретной ситуации. Фактически, решая задачу, мы синтезируем уравнение.

Задание: составить задачу по данному уравнению: (2х+5=15).

От поселка до станции 15 км. Пешеход шел два часа, после чего ему осталось до станции пройти 5 км. С какой скоростью шел пешеход?

Заметим, для того чтобы адекватно выбирать инструмент для решения текстовых задач, нужно задачи тоже рассмотреть как математический объект.

В работе И.Н. Мурашковски “Интегрированный подход к формированию умений” [1] анализ умений, формируемых в различных учебных курсах, позволил автору выстроить систему в виде морфологической таблицы.

Формируемые умения

 

Узнать

Исполь-зовать

Преобра-зовать

Синтези-ровать

Объект

 

 

 

 

Инструмент

 

 

 

 

Модель

 

 

 

 

Канон

 

 

 

 

Наша работа предлагает систему формирования знаний об объекте.

Впишем в таблицу знания, необходимые для формирования соответствующих умений.

 

Узнать

Использовать

Преобразо-вать

Синтези-ровать

Объект

Определение и признаки

свойства

свойства

Определение и признаки

Заметим, что последний пункт в плане работы с математическим объектом - “Применение” - относится не к знаниям, а к умениям. Меняется роль объекта в системе математических знаний - он превращается в инструмент.

Считаем, что представленная система работы является дидактическим инструментом для получения знаний о новых математических объектах, а также для обобщения и систематизации раннее полученных знаний. Организуя системный подход к изучению объекта, мы закладываем ресурс для формирования системы умений в курсе математики.

Список литературы.

1. Мурашковска И.Н. Интегрированный подход к формированию умений. /Научно-практическая конференция по теории решения изобретательских задач. Тезисы докладов. - Петрозаводск, 1999.

2. Белова Г.В. Творческие копилки на уроках математики. /Научно-практическая конференция “Творчество во имя достойной жизни”, 16-17 августа 2000 г. Тезисы докладов.- Петрозаводск, 2000.

3. Белова Г.В., Драган Е.А., Нестеренко А.А. Системный подход к работе с определением // Развитие творческих способностей детей с использованием элементов ТРИЗ. IV Междунар. научн.-практ. конф., г. Челябинск, 25-27.06.01. Тез. докл. - Челябинск: ТРИЗ-инфо, 2001.
вверх
СОДЕРЖАНИЕ
(c) 1997-2003 Центр ОТСМ-ТРИЗ технологий
(с) 1997-2003 OTSM-TRIZ Technologies Center

http://www.trizminsk.org

21 Apr 2003